6814. В треугольнике ABC
угол B
равен 120^{\circ}
, AB=2BC
. Серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекает AC
в точке D
. Найдите отношение AD:DC
.
Ответ. AD:DC=2:3
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина стороны AB
. Опустим перпендикуляр CH
на прямую AB
. Угол HBC
прямоугольного треугольника BHC
равен 60^{\circ}
, поэтому \angle BCH=30^{\circ}
. Тогда
BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AM,~HM=BH+BM=\frac{1}{2}AM+AM=\frac{3}{2}AM.
Значит, HM:MA=3:2
, а так как MD\parallel CH
, то по теореме о пропорциональных отрезках
CD:DA=HM:MA=3:2.
Второй способ. Пусть M
— середина стороны AB
. Продлим отрезок DM
до пересечения с продолжением стороны BC
в точке K
. Точка K
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, поэтому KA=KB
. Угол ABK
равнобедренного треугольника AKB
равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний. Тогда
KC=KB+BC=AB+\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}KA.
Высота KM
треугольника AKB
является его биссектрисой, значит, KD
— биссектриса треугольника AKC
. По свойству биссектрисы треугольника CD:DA=KC:KA=3:2
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2014-2015, XLI, муниципальный этап, 8 класс