6818. Продолжения медиан AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекают его описанную окружность в точках A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC_{0}
, AB_{0}C
и A_{0}BC
равны. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Лемма. Пусть A
, B
, C
и D
— различные точки на плоскости, причём прямые AC
и BD
пересекаются в точке E
. Тогда \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{BE}{DE}
.
Доказательство. Пусть BH_{B}
и DH_{D}
— высоты треугольников ABC
и ADC
соответственно. Прямоугольные треугольники BH_{B}E
и DH_{D}E
подобны, поэтому \frac{BE}{DE}=\frac{BH_{B}}{DH_{D}}
. С другой стороны, S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH_{B}
и S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DH_{D}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot BH_{B}}{\frac{1}{2}AC\cdot DH_{D}}=\frac{BH_{B}}{DH_{D}}=\frac{BE}{DE}.
Перейдём к решению задачи. Обозначим через M
точку пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда S_{\triangle AMB}=S_{\triangle AMC}
, а так как по условию S_{\triangle AC_{0}B}=S_{\triangle AB_{0}C}
, то \frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle AC_{0}B}}=\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle AB_{0}C}}
. Применяя лемму, получаем \frac{MC_{1}}{C_{1}C_{0}}=\frac{MB_{1}}{B_{1}B_{0}}
, откуда C_{1}B_{1}\parallel C_{0}B_{0}\parallel BC
. Поскольку четырёхугольник BCB_{0}C_{0}
вписан в окружность, он является равнобокой трапецией или прямоугольником; в любом случае, BM=MC
, т. е. треугольник BMC
равносторонний, и его медиана MA_{1}
является высотой. Значит, и в треугольнике ABC
медиана AA_{1}
является высотой, т. е. AB=AC
. Равенство AB=BC
доказывается аналогично.