6820. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC
проведены медиана AM
и высота AH
. На прямых AB
и AC
отмечены точки Q
и P
соответственно так, что QM\perp AC
и PM\perp AB
. Окружность, описанная около треугольника PMQ
, пересекает прямую BC
вторично в точке X
. Докажите, что BH=CX
.
Решение. Пусть P'
и Q'
— точки, симметричные соответственно точкам P
и Q
относительно M
. Диагонали PP'
и QQ'
четырёхугольника PBP'C
пересекаются в точке M
и делятся ею пополам, значит, это параллелограмм. Тогда P'B\parallel CP
, а так как по условию QM\perp CP
, то P'B\perp QM
. Кроме того, QB\perp MP'
, значит, B
— точка пересечения высот треугольника MQP'
. Следовательно, P'Q\perp BC
. Аналогично Q'P\perp BC
.
Четырёхугольник PQP'Q'
— также параллелограмм, поэтому \overrightarrow{PQ'}=\overrightarrow{QP'}
. От точки A
отложим вектор \overrightarrow{AD}
, равный эти двум векторам. Тогда из ранее доказанного следует, что DM\perp BC
. Кроме того, четырёхугольник ADP'Q
— параллелограмм, поэтому прямая MP'
, перпендикулярная его стороне AQ
, перпендикулярна противоположной стороне DP'
. Аналогично MQ'\perp DQ'
. Таким образом, из точек H
, P'
и Q'
отрезок DM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \Omega
с диаметром DM
.
При симметрии относительно точки M
окружность \Omega
, проходящая через точки M
, P'
и Q'
, переходит в окружность \Omega'
, проходящую через симметричные им точки M
, P
и Q
, т. е. в описанную окружность треугольника PMQ
. Прямая BC
, проходящая через центр M
симметрии, пересекает окружность \Omega
в точке H
, а окружность \Omega'
— в точке X
(отличной от M
). Значит, точки H
и X
симметричны относительно M
. Следовательно, BH=MX
.