6824. Окружность с диаметром AB
пересекается с окружностью с центром B
в точках M
и N
.
а) Докажите, что если окружности равны, то диаметр первой из них, проходящий через точку N
, делит пополам хорду AM
.
б) Пусть радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. В каком отношении диаметр первой окружности, проходящий через точку N
, делит хорду AM
?
Ответ. 4:7
.
Решение. а) Окружности равны, поэтому центр B
второй из них проходит через центр O
первой. Пусть радиусы окружностей равны R
, D
— точка пересечения MN
и AB
, P
— точка пересечения NO
и AM
. Тогда BMON
— ромб, поэтому D
— середина MN
. Значит, AD
— медиана треугольника AMN
, а так как \frac{AO}{OD}=\frac{R}{\frac{R}{2}}=2
, то O
— точка пересечения медиан треугольника AMN
. Следовательно, NP
— также медиана этого треугольника, т. е. P
— середина хорды AM
.
б) Пусть O
— центр первой окружности, NC
— её диаметр, P
— точка пересечения NC
и AM
, радиус первой окружности равен 2R
, а второй — R
. Вписанные в большую окружность углы MCN
и MAN
равны половине дуги MBN
, т. е. центральному углу BON
. Значит,
\angle COA=\angle BON=\angle MCN,
поэтому CM\parallel OA
. Треугольник APO
подобен треугольнику MPC
, следовательно, \frac{AP}{PM}=\frac{OA}{CM}
.
Обозначим \angle MAB=\alpha
. Тогда \angle MCN=2\alpha
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
\sin\alpha=\frac{MB}{AB}=\frac{\frac{R}{2}}{2R}=\frac{1}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4},~\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{7}{8},
значит,
CM=CN\cos2\alpha=2R\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{4}R.
Следовательно,
\frac{AP}{PM}=\frac{OA}{CM}=\frac{R}{\frac{7}{4}R}=\frac{4}{7}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2, с. 170