6833. Точки M
и N
лежат на сторонах соответственно AC
и AB
, треугольника ABC
, причём AM:MC=1:2
и AN:NB=3:2
.
а) Докажите, что прямая CN
проходит через середину отрезка BM
.
б) Найдите расстояние от вершины A
до точки пересечения CN
и BM
, если AB=AC=9
, а CN
— биссектриса треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{33}
.
Решение. а) Положим AM=3t
, BN=2t
. Через точку M
проведём прямую, параллельную CN
. Пусть P
— точка пересечения этой прямой со стороной AB
, а K
— точка пересечения отрезков NM
и CN
. По теореме о пропорциональных отрезках AP:PN=AM:MC=1:2
, значит,
PN=\frac{2}{3}AN=\frac{2}{3}\cdot3t=2t=BN,
т. е. N
— середина отрезка BP
. Следовательно, по теореме Фалеса K
— середина отрезка BM
.
б) Биссектриса CK
треугольника BCM
является его медианой, поэтому треугольник BCM
равнобедренный. Значит,
BC=CM=\frac{2}{3}AC=6.
Обозначим \angle ACB=\angle ABC=\alpha
. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Тогда
CH=\frac{1}{2}BC=3,~\cos\alpha=\frac{CH}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Отрезок KH
— средняя линия треугольника BMC
, поэтому KH=\frac{1}{2}CM=AM
и KH\parallel AM
. Значит, AMHK
— параллелограмм, следовательно,
AK=MH=\sqrt{CM^{2}+CH^{2}-2CM\cdot CH\cos\alpha}=
=\sqrt{36+9-2\cdot6\cdot3\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{33}.