6836. Две окружности вписаны в один угол. Первая касается одной стороны угла в точке A
, вторая касается другой стороны — в точке B
.
1) Докажите, что на отрезке AB
окружности высекают равные хорды.
2) Найдите косинус угла, если одна из окружностей в два раза больше другой и треть отрезка AB
находится вне данных окружностей.
Ответ. \frac{7}{8}
.
Решение. а) Пусть меньшая окружность касается сторон угла в точках A
и C
, большая — в точках B
и D
, прямая AB
высекает на меньшей окружности хорду AM
, а на большей — хорду BN
. По теореме о касательной и секущей AN\cdot AB=AD^{2}
и AB\cdot BM=BC^{2}
, а так как AD=BC
, то AN\cdot AB=AB\cdot BM
. Значит, AN=BM
. Следовательно, AM=BN
.
б) Пусть O
— вершина искомого угла, O_{1}
и O_{2}
— центры меньшей и большей окружностей соответственно. Обозначим AM=MN=NB=a
, \angle AOC=\alpha
. Тогда
AD=\sqrt{AN\cdot AB}=\sqrt{2a\cdot3a}=a\sqrt{6}.
Прямоугольные треугольники AOO_{1}
и DOO_{2}
подобны с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому OC=OA=AD=a\sqrt{6}
и OB=2OC=2a\sqrt{6}
. Из треугольника AOB
находим, что
\cos\alpha=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{6a^{2}+24a^{2}-9a^{2}}{2\cdot a\sqrt{6}\cdot2a\sqrt{6}}=\frac{7}{8}.