6839. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
внешним образом касаются друг друга, а внутренним образом — окружности с центром O
.
а) Докажите, что периметр треугольника O_{1}OO_{2}
равен диаметру третьей окружности.
б) Пусть A
и B
— точки, в которых окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются окружности с центром O
, а радиусы окружностей равны соответственно 1, 2 и 5. Найдите длину отрезка AB
.
Ответ. 5\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. а) Пусть окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
радиусов r_{1}
и r_{2}
касаются друг друга в точке C
, а радиус окружности с центром O
равен r
. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
O_{1}O_{2}=O_{1}C+O_{2}C=r_{1}+r_{2},~
OO_{1}=OA-O_{1}A=r-r_{1},~OO_{2}=OB-O_{2}B=r-r_{2}.
Следовательно, периметр треугольника O_{1}OO_{2}
равен
O_{1}O_{2}=OO_{1}+OO_{2}=(r_{1}+r_{2})+(r-r_{1})+(r-r_{2})=2r.
Что и требовалось доказать.
б) Обозначим \angle AOB=\alpha
. Поскольку O_{1}O_{2}=1+2=3
и OO_{2}=5-2=3
, треугольник O_{1}OO_{2}
равнобедренный. Его высота O_{2}H
является медианой, поэтому
\cos\alpha=\frac{OH}{OO_{2}}=\frac{2}{3}.
По теореме косинусов
AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos\alpha=
=25+25-2\cdot25\cdot\frac{2}{3}=25\left(2-\frac{4}{3}\right)=25\cdot\frac{2}{3}.
Следовательно, AB=5\sqrt{\frac{2}{3}}
.