6842. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
вне треугольника построен квадрат ABDE
. Прямая CD
пересекает гипотенузу AB
в точке K
, а катет AC
вдвое больше катета BC
.
а) Докажите, что AK:KB=6:1
.
б) Прямая, проходящая через точку K
перпендикулярно CD
, пересекает отрезок AE
в точке M
. Найдите отношение AM:ME
.
Ответ. 6:43
.
Решение. а) Обозначим BC=a
. Тогда AC=2a
. По теореме Пифагора находим, что BD=AB=a\sqrt{5}
. Пусть CF
— высота треугольника ABC
. Тогда
CF=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{2a}{\sqrt{5}},~AF=2CF=\frac{4a}{\sqrt{5}},
BF=AB-AF=a\sqrt{5}-\frac{4a}{\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}.
Поскольку CF\parallel BD
, прямоугольные треугольники CFK
и DBK
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{CF}{BD}=\frac{\frac{2a}{\sqrt{5}}}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{5}.
Из прямоугольного треугольника AFC
находим, что AF=\frac{4a}{\sqrt{5}}
. Тогда
BK=\frac{5}{7}BF=\frac{5}{7}\cdot\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{7},
AK=AB-BK=a\sqrt{5}-\frac{a\sqrt{5}}{7}=\frac{6a\sqrt{5}}{7}.
Следовательно,
\frac{AK}{KB}=\frac{\frac{6a\sqrt{5}}{7}}{\frac{a\sqrt{5}}{7}}=6.
б) Прямоугольные треугольники AKM
и BDK
подобны, так как
\angle AKM=90^{\circ}-\angle BKD=\angle BDK,
поэтому \frac{AM}{AK}=\frac{KB}{BD}
. Откуда находим, что
AM=\frac{AK\cdot KB}{BD}=\frac{\frac{6a\sqrt{5}}{7}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{7}}{a\sqrt{5}}=\frac{6a\sqrt{5}}{49}.
Значит,
ME=AE-AM=a\sqrt{5}-\frac{6a\sqrt{5}}{49}=\frac{43a\sqrt{5}}{49}.
Следовательно,
\frac{AM}{ME}=\frac{\frac{6a\sqrt{5}}{49}}{\frac{43a\sqrt{5}}{49}}=\frac{6}{43}.