6846. На отрезке AB
взята точка C
. На отрезках AB
и BC
как на диаметрах построены окружности. Прямая, проходящая через точку A
, касается меньшей окружности в точке K
, а прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно AB
, пересекает большую окружность в точке M
.
а) Докажите, что AM=AK
.
б) Пусть луч AK
пересекает большую окружность в точке P
. Найдите BP
, если AC=13
и BC=6
.
Ответ. \frac{57}{16}
.
Решение. а) Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
. Отрезок MC
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AM^{2}=AC\cdot AB
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей AK^{2}=AB\cdot AC
. Значит, AM^{2}=AK^{2}
. Следовательно, AM=AK
.
б) Пусть O
— центр окружности с диаметром BC
. Тогда OK\perp AK
. Точка P
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому BP\perp AP
. Прямые OK
и BP
перпендикулярны одной и той же прямой AP
, значит, они параллельны.
Треугольник APB
подобен треугольнику AKO
с коэффициентом \frac{AB}{AO}=\frac{13+6}{13+3}=\frac{19}{16}
. Следовательно,
BP=\frac{19}{16}OK=\frac{19}{16}\cdot3=\frac{57}{16}.