6848. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
с углом 30^{\circ}
при вершине B
вне треугольника построен равносторонний треугольник ABD
. Прямая CD
пересекает гипотенузу AB
в точке K
.
а) Докажите, что AK:KB=1:2
.
б) Прямая, проходящая через точку K
перпендикулярно AD
, пересекает катет BC
в точке M
. Найдите отношение CM:MB
.
Ответ. 5:4
.
Решение. а) Поскольку \angle ABD=\angle BAC=60^{\circ}
, прямые AC
и BD
параллельны, а так как AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BD
, то треугольник AKC
подобен треугольнику BKD
с коэффициентом \frac{1}{2}
. Следовательно, AK:KB=1:2
.
б) Пусть прямая KM
пересекает отрезок AD
в точке N
. В прямоугольном треугольнике AKN
угол при вершине K
равен 30^{\circ}
, поэтому
\angle BKM=\angle AKN=30^{\circ}=\angle KBM.
Обозначим AB=a
. Тогда BC=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и BK=\frac{2}{3}a
. Из равнобедренного треугольника BMK
находим, что
BM=\frac{BK}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{2}{3}a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{9}.
Тогда
CM=BC-BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{2a\sqrt{3}}{9}=\frac{5a\sqrt{3}}{18}.
Следовательно,
\frac{CM}{MB}=\frac{\frac{5a\sqrt{3}}{18}}{\frac{2a\sqrt{3}}{9}}=\frac{5}{4}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.25.2, с. 60