6849. На катете BC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
и углом 30^{\circ}
при вершине A
вне треугольника построен ромб BCDE
с углом 120^{\circ}
при вершине E
. Прямая AE
пересекает сторону BC
в точке K
.
а) Докажите, что CK:KB=1:2
.
б) Прямая CD
пересекает отрезок AB
в точке M
. Найдите отношение AM:MB
.
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Обозначим BC=CD=a
. Тогда CE=BC=a
, AB=2BC=2a
, так как \angle BCE=\angle ABC=60^{\circ}
, то CE\parallel AB
. Треугольник EKC
подобен треугольнику AKB
с коэффициентом \frac{CE}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}
, следовательно, \frac{CK}{KB}=\frac{1}{2}
.
б) Поскольку
\angle BCM=\angle EDC=60^{\circ},
треугольник BMC
равносторонний, поэтому CM=MB
, а \angle ACM=30^{\circ}=\angle CAM
. Значит, AM=MC=MB
. Следовательно, AM:MB=1:1
.