6852. Точка M
лежит на стороне BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
, причём B
и C
— вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM
и DM
соответственно, а прямые AM
и MD
перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B
и C
четырёхугольника ABCD
пересекаются на стороне AD
.
б) Пусть N
— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если известно, что MB:MC=1:3
, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM
, DM
, BN
и CN
, равна 18.
Ответ. 96.
Решение. а) Пусть K
— середина отрезка AM
. Треугольник AMB
равнобедренный, поэтому отрезок BK
является в нём медианой, биссектрисой и высотой. Поскольку прямые DM
и AM
перпендикулярны, прямая KB
содержит среднюю линию треугольника AMD
, т. е. проходит через середину стороны AD
. Аналогично, биссектриса угла MCD
тоже проходит через середину стороны AD
. Следовательно, биссектрисы углов B
и C
четырёхугольника ABCD
пересекаются на стороне AD
.
б) Пусть прямые AM
и BN
пересекаются в точке K
, а прямые DM
и CN
— в точке L
. Тогда четырёхугольник KMLN
— прямоугольник. Площадь треугольника AMB
равна
S_{\triangle AMB}=BK\cdot KM=\frac{BM}{MC}\cdot BN\cdot KM=\frac{1}{3}S_{KMLN}=6.
Аналогично S_{\triangle DCM}=54
. Площадь треугольника DMA
равна
S_{\triangle DMA}=\frac{1}{2}AM\cdot DM=2KM\cdot LM=2S_{KMLN}=36.
Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle DMA}+S_{\triangle AMB}+S_{\triangle DMC}=36+6+54=96.