6853. Точка M
лежит на стороне BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
, причём B
и C
— вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM
и DM
соответственно, а MA\perp MD
.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD
— трапеция или параллелограмм.
б) Найдите площадь треугольника AMD
, если BM:MC=1:2
, а площадь четырёхугольника ABCD
равна 36.
Ответ. 16.
Решение. а) Поскольку
\angle B+\angle C=(180^{\circ}-2\angle AMB)+(180^{\circ}-2\angle DMC)=360^{\circ}-2(\angle AMB+\angle DMC)=
=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle AMD)=2\angle AMD=180^{\circ},
прямые AB
и CD
параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABCD
— параллелограмм или трапеция с основаниями AB
и CD
.
б) Пусть N
— середина стороны AD
. Тогда MN
— медиана прямоугольного треугольника AMD
, проведённая из вершины прямого угла, значит, ND=NA=MN
. Треугольник BMN
равен треугольнику BAN
, а треугольник CMN
— треугольнику CDN
по трём сторонам, поэтому
S_{\triangle BNC}=S_{\triangle BMN}+S_{\triangle CMN}=
=\frac{1}{2}S_{ABMN}+\frac{1}{2}S_{CDNM}=\frac{1}{2}(S_{ABMN}+S_{CDNM})=\frac{1}{2}S_{ABCD}=18.
Пусть K
— точка пересечения AM
и BN
, а L
— точка пересечения DM
и CN
. Точки B
и N
равноудалены от концов отрезка AM
, поэтому прямая BN
— серединный перпендикуляр к этому отрезку, а так как DM\perp AM
и NK\perp AM
, то NK\parallel DM
. Аналогично NL\parallel AM
, следовательно, \angle BNC=90^{\circ}
. При этом KN
и LN
— средние линии прямоугольного треугольника AMD
, а четырёхугольник KMLN
— прямоугольник.
Треугольник BKM
подобен треугольнику BNC
с коэффициентом \frac{BM}{BC}=\frac{1}{3}
, значит,
S_{\triangle BKM}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}S_{\triangle BNC}=\frac{1}{9}S_{\triangle BNC}=\frac{1}{9}\cdot18=2.
Аналогично
S_{\triangle CLM}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{\triangle BNC}=\frac{4}{9}S_{\triangle BNC}=\frac{4}{9}\cdot18=8,
значит,
S_{KMLN}=S_{\triangle BNC}-S_{\triangle BKM}-S_{\triangle CLM}=18-2-8=8.
Следовательно,
S_{\triangle AMD}=S_{\triangle AMN}+S_{\triangle DMN}=2S_{\triangle KMN}+2S_{\triangle LMN}=2S_{KMLN}=2\cdot8=16.