6855. Две окружности касаются внутренним образом в точке K
, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN
большей окружности касается меньшей в точке C
. Хорды KM
и KN
пересекают меньшую окружность в точках A
и B
, а отрезки KC
и AB
пересекаются в точке L
.
а) Докажите, что CN:CM=LB:LA
.
б) Найдите MN
, если LB:LA=1:3
, а радиус меньшей окружности равен 3\sqrt{2}
.
Ответ. 16.
Решение. а) Пусть O
— центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OK
— диаметр меньшей окружности.
Пусть хорды KM
и KN
пересекают меньшую окружность в точках A
и B
соответственно. Точка A
лежит на окружности с диаметром OK
, значит, \angle OAK=90^{\circ}
, а так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, то A
— середина KM
. Аналогично, B
— середина KN
, поэтому AB
— средняя линия треугольника KMN
. Значит, AB\parallel MN
.
Треугольник KNC
подобен треугольнику KBL
с коэффициентом k=\frac{KC}{KL}
, треугольник KMC
подобен треугольнику KAL
с тем же коэффициентом k
. Следовательно,
\frac{CN}{CM}=\frac{kLB}{kLA}=\frac{LB}{LA}.
б) Радиус большей окружности равен 6\sqrt{2}
, так как он вдвое больше радиуса меньшей окружности, и \frac{CN}{CM}=\frac{LB}{LA}=\frac{1}{3}
. Положим CN=x
, CM=3x
. Тогда
CH=HN-CN=2x-x=x.
Опустим перпендикуляр OH
на хорду MN
. Тогда H
— середина MN
. Из прямоугольного треугольника OHM
находим, что
OH=\sqrt{OM^{2}-MH^{2}}=\sqrt{72-4x^{2}}=2\sqrt{18-x^{2}}.
Пусть Q
— центр меньшей окружности. Тогда QC\parallel OH
. Опустим перпендикуляр OF
из центра большей окружности на QC
. Тогда
QF=CH=2x-x=x,~OF=|QC-OH|=|3\sqrt{2}-2\sqrt{18-x^{2}}|.
По теореме Пифагора OQ^{2}=QF^{2}+OF^{2}
, или
18=(3\sqrt{2}-2\sqrt{18-x^{2}})^{2}+x^{2},
18=18-12\sqrt{2}\cdot\sqrt{18-x^{2}}+72-4x^{2}+x^{2},~
12\sqrt{36-2x^{2}}=72-3x^{2},~4\sqrt{36-2x^{2}}=24-x^{2},
576-32x^{2}=576-48x^{2}+x^{4},~x^{4}=16x^{2},~x^{2}=16,~x=4.
Следовательно, MN=4x=16
.