6856. Две окружности касаются внутренним образом в точке K
, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN
большей окружности касается меньшей в точке C
. Хорды KM
и KN
пересекают меньшую окружность в точках A
и B
соответственно, а отрезки KC
и AB
пересекаются в точке L
.
а) Докажите, что CN:CM=LB:LA
.
б) Найдите MN
, если LB:LA=2:3
, а радиус малой окружности равен \sqrt{23}
.
Ответ. \frac{115}{6}
.
Решение. а) Пусть O
— центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OK
— диаметр меньшей окружности.
Точка A
лежит на окружности с диаметром OK
, значит, \angle OAK=90^{\circ}
. OA
— перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, поэтому A
— середина KM
. Аналогично, B
— середина KN
. Тогда AB
— средняя линия треугольника KMN
. Значит, прямые AB
и MN
параллельны. Тогда \frac{CN}{LB}=\frac{CK}{LK}=\frac{CM}{AL}
, откуда \frac{CN}{CM}=\frac{LB}{LA}
.
б) Радиус большей окружности равен 2\sqrt{23}
. В предыдущем пункте было доказано, что \frac{CN}{CM}=\frac{LB}{LA}=\frac{2}{3}
. Опустим перпендикуляр OH
на хорду MN
. Тогда H
— середина MN
. Положим CN=4x
, CM=6x
. Тогда
CH=HN-CN=\frac{CM+CN}{2}-CN=5x-4x=x.
Из прямоугольного треугольника OHM
находим, что
OH=\sqrt{OM^{2}-MH^{2}}=\sqrt{92-25x^{2}}.
Пусть Q
— центр меньшей окружности. Тогда прямые QC
и OH
параллельны. Опустим перпендикуляр OF
из центра большей окружности на прямую QC
. Тогда
OF=CH=x,~QF=|QC-CF|=|QC-OH|=|\sqrt{23}-\sqrt{92-25x^{2}}|.
По теореме Пифагора OQ^{2}=OF^{2}+OF^{2}
. Составим и решим уравнение:
23=(\sqrt{23}-\sqrt{92-25x^{2}})^{2}+x^{2},
\sqrt{23(92-25x^{2})}=46-12x^{2},
46^{2}-23\cdot25x^{2}=46^{2}-23\cdot48x^{2}+144x^{4},~x=\frac{23}{12}.
Следовательно, MN=10x=\frac{115}{6}
.