6857. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность, пересекаются в точке P
, причём BC=CD
.
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD
.
б) Найдите площадь треугольника COD
, где O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABD
, если дополнительно известно, что BD
— диаметр описанной около четырёхугольника ABCD
окружности, AB=5
, а BC=5\sqrt{2}
.
Ответ. \frac{25\sqrt{3}}{2}
.
Решение. а) Вписанные углы BAC
и DAC
опираются на равные хорды, поэтому они равны (рис. 1). Вписанные углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADP=\angle ADB=\angle ACB
. Значит, треугольники ADP
и ACB
подобны по двум углам. Следовательно, AB:BC=AP:PD
.
б) Точки A
и C
лежат на окружности с диаметром BD
, значит, треугольники ABD
и BCD
прямоугольные (рис. 2). Кроме того, по условию треугольник BCD
равнобедренный, поэтому BD=BC\sqrt{2}=10
. Катет AB
прямоугольного треугольника ABD
равен половине гипотенузы BD
, поэтому \angle ADB=30^{\circ}
, \angle ABD=60^{\circ}
. Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, поэтому точка O
лежит на биссектрисе AC
угла BAD
и на биссектрисе угла ADB
. Тогда
\angle ACD=\angle ABD=60^{\circ},~\angle ODC=\angle ODB+\angle BDC=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}.
Значит, треугольник COD
равносторонний, причём CD=BC=5\sqrt{2}
. Следовательно, площадь треугольника COD
равна \frac{25\sqrt{3}}{2}
.