6862. Внутри треугольника расположены три окружности с радиусами a
, b
и c
, каждая из которых касается двух сторон треугольника и вписанной в этот треугольник окружности. Найдите радиус вписанной окружности. Вычислите значение радиуса при a=4
, b=6{,}25
, c=9
.
Ответ. \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}
; 18{,}5
.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, r
— радиус окружности с центром O
, вписанной в треугольник ABC
, P
— точка её касания со стороной AC
, M
— центр окружности радиуса a
, вписанной в угол BAC
, T
— точка касания этих окружностей.
Пусть общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку T
, пересекает сторону AC
в точке D
. Тогда DM
и DO
— биссектрисы смежных углов ADT
и PDT
, поэтому \angle MDO=90^{\circ}
. Отрезок DT
— высота прямоугольного треугольника MDO
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
DP=DT=\sqrt{MT\cdot OT}=\sqrt{ar}.
Кроме того (см. задачу 4770),
\angle ODT=90^{\circ}-\angle DOT=90^{\circ}-\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}.
\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)=\ctg\angle ODT=\frac{DT}{OT}=\frac{\sqrt{ar}}{r}=\sqrt{\frac{a}{r}}.
Аналогично
\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\beta}{4}\right)=\sqrt{\frac{b}{r}},~\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}\right)=\sqrt{\frac{c}{r}},
а так как
\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)+\left(45^{\circ}+\frac{\beta}{4}\right)+\left(45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}\right)=135^{\circ}+\frac{\alpha+\beta+\gamma}{4}=135^{\circ}+\frac{180^{\circ}}{4}=180^{\circ},
то (см. задачу 6860)
\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\beta}{4}\right)+\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\beta}{4}\right)\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}\right)+
+\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}\right)=1,
или
\frac{\sqrt{ab}}{r}+\frac{\sqrt{bc}}{r}+\frac{\sqrt{ac}}{r}=1,
откуда r=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}
. При a=4
, b=6{,}25
, c=9
находим, что r=18{,}5
.