6869. Известно, что a
, b
и c
— длины сторон треугольника. Докажите, что
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leqslant abc.
Указание. Обозначьте b+c-a=x
, c+a-b=y
, a+b-c=z
.
Решение. Обозначим
b+c-a=x,~c+a-b=y,~a+b-c=z.
Из неравенства треугольника следует, что x\gt0
, y\gt0
, z\gt0
. Перемножив неравенства
x+y\geqslant2\sqrt{xy},~y+z\geqslant2\sqrt{xz},~z+x\geqslant2\sqrt{zx},
получим, что
(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant8xyz,~\mbox{или}~2c\cdot2a\cdot2b\geqslant8(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a).
Следовательно,
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leqslant abc.
Примечание. См. также статью Р.Алексеева и Л.Курляндчика «Стороны треугольника», Квант, 1993, N9/10, с.69-70.
Источник: Журнал «Квант». — 1993, № 9/10, с. 69, задача 2
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.13, с. 222