6872. Окружности \Omega_1
и \Omega_2
с центрами O_1
и O_2
касаются внешним образом в точке A
. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \Omega_1
в точке B
и пересекает в точке C
общую касательную этих окружностей, проходящую через точку A
. Прямая, делящая угол ACO_1
пополам, пересекает прямые O_1O_2
и BO_1
в точках L
и D
соответственно. Найдите CO_{2}
, если известно, что LO_1=2
, а прямые CO_2
и DO_2
перпендикулярны.
Ответ. 4
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому \angle O_{1}CO_{2}=90^{\circ}
, а CA
— высота прямоугольного треугольника O_{1}CO_{2}
, проведённая из вершины прямого угла.
Пусть \angle ACO_{1}=2\alpha
. Тогда
\angle CO_{2}O_{1}=\angle ACO_{1}=2\alpha,~\angle ACL=\frac{1}{2}\angle ACO_{1}=\alpha,
\angle ACO_{2}=90^{\circ}-2\alpha,~\angle LCO_{2}=\angle ALC+\angle ACO_{2}=
=\alpha+90^{\circ}-2\alpha=90^{\circ}-\alpha=\angle ALC=\angle O_{2}LC.
Значит, треугольник LCO_{2}
равнобедренный, O_{2}C=O_{2}A
.
Поскольку прямые O_{1}C
и DO_{2}
перпендикулярны CO_{2}
, эти прямые параллельны, поэтому
\angle O_{1}DO_{2}=\angle BO_{1}C=90^{\circ}-2\alpha=\angle O_{1}O_{2}D,
значит, треугольник O_{1}O_{2}D
равнобедренный, O_{1}D=O_{1}O_{2}
.
Пусть O_{1}H
— высота этого треугольника. Тогда
O_{1}C=O_{2}H=\frac{1}{2}DO_{2},
значит, треугольник DLO_{2}
подобен треугольнику CLO_{1}
с коэффициентом 2. Следовательно, CO_{2}=LO_{2}=2LO_{1}=4
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2014, июль, вариант 2, № 5