6884. Известно, что a
, b
и c
— длины сторон треугольника. Докажите, что
a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a~\geqslant~a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}.
Указание. Обозначьте a=x+y
, b=y+z
, c=z+x
.
Решение. Обозначим
a=x+y,~b=y+z,~c=z+x.
Тогда
a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}=a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=
=(x+y)^{2}(y+z)(x-z)+(y+z)^{2}(z+x)(y-x)+(z+x)^{2}(x+y)(z-y)=
=2x^{3}z+2y^{3}x+2z^{3}y-2x^{2}yz-2y^{2}xz-2z^{2}xy=
=2(xz(y-x)^{2}+xy(y-z)^{2}+yz(z-x)^{2})\geqslant0.
Отсюда следует исходное неравенство.
Примечание. См. также статью Р.Алексеева и Л.Курляндчика «Стороны треугольника», Квант, 1993, N9/10, с.69-70.