6888. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что AB=13
, CD=49
, \angle BAC=\angle BDA
, \angle BAD=\angle CDA=60^{\circ}
. Найдите AD
.
Ответ. 62.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle BAC=\angle BDA=\alpha
. Тогда
\angle CAD=\angle BAD-\angle BAC=60^{\circ}-\alpha,
\angle ACD=180^{\circ}-\angle CAD-\angle CDA=60^{\circ}+\alpha,
\angle ABD=180^{\circ}-\angle BAD-\angle BDA=120^{\circ}-\alpha.
Применяя теорему синусов к треугольникам ACD
и ABD
, получим, что
\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{AD}{\sin\angle ACD},~\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{AD}{\sin\angle ABD},
или
\frac{49}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{AD}{\sin(60^{\circ}+\alpha)},~\frac{13}{\sin\alpha}=\frac{AD}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}=\frac{AD}{\sin(60^{\circ}+\alpha)}.
Значит,
\frac{49}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{13}{\sin\alpha},~49\sin\alpha=13\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha\right),
111\sin\alpha=13\sqrt{3}\cos\alpha,~\ctg\alpha=\frac{111}{13\sqrt{3}}.
Следовательно,
AD=\frac{13\sin(60^{\circ}+\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{13\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha\right)}{\sin\alpha}=\frac{13}{2}(\sqrt{3}\ctg\alpha+1)=62.
Второй способ. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
. Тогда треугольник AED
равносторонний. Рассмотрим поворот вокруг центра этого треугольника на угол 120^{\circ}
, при котором вершина D
переходит в E
. При этом повороте вершина E
переходит в A
, а так как \angle ADB=\angle EAC
, то точка C
переходит в B
. Значит, отрезок EC
переходит в отрезок AB
. Следовательно, EC=AB
. Тогда
AD=DE=CD+CE=CD+AB=49+13=62.
Третий способ. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
. Тогда треугольник AED
равносторонний. Треугольник ACE
равен треугольнику DBA
по стороне (AE=AD
) и двум прилежащим к ней углам (\angle CAE=\angle ADB
, \angle AEC=\angle DAB=60^{\circ}
). Следовательно, EC=AB
. Тогда
AD=DE=CD+CE=CD+AB=49+13=62.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2015