6895. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются внешним образом в точке O
. Точки A
и B
на окружности \omega_{1}
и точки C
и D
на окружности \omega_{2}
таковы, что AC
и BD
— общие внешние касательные к окружностям. Прямая AO
пересекает отрезок CD
в точке M
, а прямая CO
пересекает вторично окружность \omega_{1}
в точке N
. Докажите, что точки B
, M
и N
лежат на одной прямой.
Указание. \angle ACO=\angle MCO
.
Решение. Заметим, что треугольники AOC
и AON
прямоугольные с прямым углом при вершине O
(см. задачу 365). Пусть общая внутренняя касательная окружностей пересекает отрезок AC
в точке K
. Тогда прямые AB
, CD
и OK
параллельны, так как они перпендикулярны линии центров окружностей. Кроме того, KC=KO
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, поэтому треугольник CKO
равнобедренный с основанием OC
. Значит,
\angle ACO=\angle KCO=\angle KOC=\angle MCO.
В треугольнике ACM
высота CO
является биссектрисой, поэтому треугольник ACM
равнобедренный, AC=CM
. Тогда треугольник CMN
равен прямоугольному треугольнику CAN
по двум сторонам и углу между ними, значит, MN\perp CD
.
Отрезок AN
— диаметр окружности \omega_{1}
, так как \angle AON=90^{\circ}
, поэтому BN\perp AB
. Таким образом, прямые BN
и MN
параллельны линии центров окружностей, следовательно, точки B
, M
и N
лежат на одной прямой.