6899. Биссектриса угла
C
треугольника
ABC
пересекает его описанную окружность вторично в точке
R
и пересекает серединные перпендикуляры к сторонам
AC
и
BC
в точках
P
и
Q
соответственно. Точки
K
и
L
— середины отрезков
AC
и
BC
соответственно. Докажите, что площади треугольников
RPK
и
RQL
равны.
Решение. Серединные перпендикуляры к сторонам
AC
и
BC
пересекаются в центре
O
описанной окружности треугольника
ABC
. Прямоугольные треугольники
CKP
и
CLQ
подобны, поэтому
\frac{PK}{QL}=\frac{CP}{CQ}
и
\angle OQP=\angle CQL=\angle CPK=\angle QPO.

Значит,
PK\cdot CQ=QL\cdot CP
, а треугольник
OPQ
равнобедренный с основанием
PQ
. Его медиана
OM
является высотой, а так как
M
— середина хорды
CR
(см. задачу 1676), то
CP=QR
и
PR=CQ
. Тогда
\frac{S_{\triangle RPK}}{S_{\triangle RQL}}=\frac{\frac{1}{2}PK\cdot PR\sin\angle KPR}{\frac{1}{2}QL\cdot QR\sin\angle LQR}=\frac{PK\cdot PR}{QL\cdot QR}=\frac{PK\cdot CQ}{QL\cdot CP}=1.

Следовательно,
S_{\triangle RPK}=S_{\triangle RQL}
.

Источник: Международная математическая олимпиада. — 2007, XLVIII