6917. В прямоугольной трапеции ABCD
с прямым углом при вершине A
расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD
, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC
и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых AB
и CD
.
б) Найдите меньшее основание трапеции, если AD=28
, а радиус большей окружности равен \frac{7}{2}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Пусть продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке Q
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, а линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому точка Q
, центры данных окружностей и точка P
лежат на одной прямой, причём QP
— биссектриса угла AQD
. Следовательно, по свойству биссектрисы угла точка касания окружностей равноудалена от сторон этого угла.
б) Пусть окружность с центром O_{1}
радиуса R=\frac{7}{2}
касается боковой стороны AB
в точке E
, а основания AD
— в точке M
; окружность радиуса r
с центром O_{2}
касается основания BC
— в точке N
. Обозначим \angle MDO_{1}=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{O_{1}M}{MD}=\frac{O_{1}M}{AD-AM}=\frac{R}{AD-R}=\frac{\frac{7}{2}}{28-\frac{7}{2}}=\frac{1}{7},
а так как
\angle BCD=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-2\alpha,~\angle O_{2}CN=\frac{1}{2}\angle BCD=90^{\circ}-\alpha,
то
\ctg\angle O_{2}CN=\ctg(90^{\circ}-\alpha)=\tg\alpha=\frac{1}{7}.
Из прямоугольного треугольника O_{2}CN
находим, что
CN=O_{2}N\ctg\angle O_{2}CN=\frac{r}{7},
поэтому
BC=BN+CN=r+\frac{r}{7}=\frac{8}{7}r.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{2}
на O_{1}E
. Тогда
\angle HO_{2}O_{1}=\angle O_{1}QE=\frac{1}{2}\angle AQD=\frac{1}{2}(90^{\circ}-2\alpha)=45^{\circ}-\alpha,
\tg\angle HO_{2}O_{1}=\tg(45^{\circ}-\alpha)=\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}=\frac{1+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7}}=\frac{3}{4},
\sin\angle HO_{2}O_{1}=\frac{3}{5},~\frac{O_{1}H}{O_{1}O_{2}}=\frac{R-r}{R+r}=\sin\angle HO_{2}O_{1}=\frac{3}{5},
или
\frac{\frac{7}{2}-r}{\frac{7}{2}+r}=\frac{3}{5},
откуда r=\frac{7}{8}
. Следовательно,
BC=\frac{8r}{7}=\frac{8}{7}\cdot\frac{7}{8}=1.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 31, с. 200