6924. На стороне BE
правильного треугольника ABE
вне его построен ромб BCDE
. Отрезки AC
и BD
пересекаются в точке F
. Докажите, что AF\lt BD
.
Указание. Точки A
, B
, F
и E
лежат на одной окружности.
Решение. Заметим, что треугольник ABC
равнобедренный, следовательно, \angle BAC=\angle BCA
. Точка F
лежит на диагонали BD
ромба, а ромб симметричен относительно своей диагонали, поэтому \angle BCA=\angle BEF
. Следовательно, \angle BAF=\angle BEF
, т. е. четырёхугольник ABFE
вписанный. Тогда
\angle AFE=\angle ABE=60^{\circ},~\angle DFE=\angle BAE=60^{\circ}.
Также \angle FDE=\angle FBE=\angle FAE
. Тогда \angle AEF=\angle DEF
. Значит, треугольник AEF
равен треугольнику DEF
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AF=DF\lt BD
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство углов AEF
и DEF
можно доказать и непосредственным подсчётом, не используя вписанных углов. Пусть
\angle BAC=\angle BCA=\angle BEF=\alpha,
тогда
\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha,~\angle EBC=120^{\circ}-2\alpha.
Следовательно,
\angle BED=180^{\circ}-\angle EBC=60^{\circ}+2\alpha,
т. е.
\angle FED=\angle BED-\angle BEF=60^{\circ}+\alpha=\angle FEA.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2015, 8-9 класс
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2015, № 5, 8-9 классы