6936. В треугольнике ABC
известны длины сторон AB=60
и AC=80
, точка O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Прямая BD
, перпендикулярна прямой AO
, пересекает сторону AC
в точке D
. Найдите CD
.
Ответ. 35.
Решение. Пусть прямая AD
вторично пересекает окружность в точке F
, а прямую AO
— в точке E
. Тогда E
— середина хорды BF
(см. задачу 1676). Медиана AE
треугольника BAF
является его высотой, значит, треугольник BAF
равнобедренный, и \angle ABF=\angle AFB=\angle ACB
.
Треугольники ABD
и ACB
подобны по двум углам, поэтому \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}
, откуда
AD=\frac{AB^{2}}{AC}=\frac{60^{2}}{80}=45.
Следовательно,
CD=AC-AD=80-45=35.