6940. Середина M
стороны AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
равноудалена от всех его вершин. Найдите AD
, если BC=19
, а углы B
и C
четырёхугольника равны соответственно 95^{\circ}
и 115^{\circ}
.
Ответ. \frac{38}{\sqrt{3}}
.
Решение. Точка M
равноудалена от всех вершин четырёхугольника, значит, M
— центр окружности, проходящей через его вершины, т. е. ABCD
— вписанный четырёхугольник, а сторона AD
— диаметр его описанной окружности. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle BAD=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ},
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-95^{\circ}=85^{\circ}
Точка C
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ACD=90^{\circ}
. Тогда
\angle CAD=90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-85^{\circ}=5^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD=65^{\circ}-5^{\circ}=60^{\circ}.
Пусть R
— радиус окружности. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{19}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{19}{\sqrt{3}}.
Следовательно, AD=2R=\frac{38}{\sqrt{3}}
.