6950. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AK
. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в треугольник ABK
и описанной около треугольника ABC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 36^{\circ}
, 72^{\circ}
, 72^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— общий центр указанных окружностей. Обозначим \angle OAB=\angle OAK=\alpha
. Тогда
\angle CAK=2\alpha,~\angle BAC=4\alpha.
Поскольку OA=OB=OC
, треугольники AOB
, BOC
и AOC
равнобедренные, поэтому
\angle ABO=\angle OAB=\alpha,~\angle ABC=2\alpha,~\angle OCB=\angle OBC=\alpha,~
\angle ACO=\angle OAC=3\alpha,~\angle ACB=\alpha+3\alpha=4\alpha.
Из равенства 4\alpha+2\alpha+4\alpha=180^{\circ}
находим, что \alpha=18^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle ACB=4\alpha=72^{\circ},~\angle ABC=2\alpha=36^{\circ}.