6950. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AK
. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в треугольник ABK
и описанной около треугольника ABC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 36^{\circ}
, 72^{\circ}
, 72^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— общий центр указанных окружностей. Обозначим \angle OAB=\angle OAK=\alpha
. Тогда
\angle CAK=2\alpha,~\angle BAC=4\alpha.
Поскольку OA=OB=OC
, треугольники AOB
, BOC
и AOC
равнобедренные, поэтому
\angle ABO=\angle OAB=\alpha,~\angle ABC=2\alpha,~\angle OCB=\angle OBC=\alpha,
\angle ACO=\angle OAC=3\alpha,~\angle ACB=\alpha+3\alpha=4\alpha.
Из равенства 4\alpha+2\alpha+4\alpha=180^{\circ}
находим, что \alpha=18^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle ACB=4\alpha=72^{\circ},~\angle ABC=2\alpha=36^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1981-82, VIII, IV этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 11, с. 26, М771
Источник: Задачник «Кванта». — М771
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1994, № 24, с. 47, 10 класс, задача 4