6952. Один угол треугольника равен 60^{\circ}
, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. Докажите, что данный треугольник равносторонний.
Решение. Пусть \angle BAC=60^{\circ}
, BC=a
. Тогда периметр треугольника ABC
равен 3a
. Предположим, что AB=a-x
, тогда
AC=3a-AB-BC=3a-a-(a-x)=a+x.
Выберем на луче AB
точку B'
, а на луче AC
точку C'
так, что AB'=AC'=a
. Треугольники BC'B'
и BC'C
равны по трём сторонам, поэтому \angle BCC'=\angle BB'C'=60^{\circ}
, т. е. в треугольнике ABC
не только угол A
, но и угол C
равен 60^{\circ}
. Значит, он равносторонний.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2016, LXXIX, 7 класс