6953. На медиане AM
треугольника ABC
нашлась такая точка K
, что AK=BM
. Кроме того, \angle AMC=60^{\circ}
. Докажите, что AC=BK
.
Решение. Первый способ. На продолжении медианы AM
за точку M
отметим такую точку X
, что MX=BM
. Заметим, что треугольник BMX
равносторонний, так как BM=MX
и \angle BMX=60^{\circ}
. Треугольники BXK
и CMA
равны по двум сторонам и углу между ними, так как
\angle BXK=\angle CMA=60^{\circ},~BX=BM=CM,~
XK=XM+MK=AK+MK=MA.
Следовательно, AC=BK
.
Второй способ. Отразим вершину B
относительно прямой AM
; получим точку Y
. Заметим, что
BM=MY,~\angle BMY=2\angle AMC=120^{\circ},~\angle CMY=60^{\circ},
а так как MY=MB=MC
, то треугольник CMY
равносторонний. Значит, AK=MC=CY
и AK\parallel CY
, поэтому AKYC
— параллелограмм. Тогда AC=YK
, а YK=BK
из симметрии относительно AM
. Следовательно, AC=BK
.
Третий способ. Отметим такую точку Z
, что MCAZ
— параллелограмм. Тогда AZ=CM=BM=AK
и \angle KAZ=\angle AMC=60^{\circ}
. Значит, AKZ
—равносторонний треугольник. Но тогда четырёхугольник ZKMB
— равнобедренная трапеция. Действительно, BM=AZ=KZ
, \angle BMK=\angle MKZ=120^{\circ}
. Отрезки AC
и MZ
равны как стороны параллелограмма, отрезки MZ
и BK
— как диагонали равнобокой трапеции. Следовательно, AC=BK
.
Примечание. Возможны и другие дополнительные построения.