6956. Внутри выпуклого четырёхугольника A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}
нашлась такая точка C
, что треугольники CA_{1}A_{2}
и CB_{1}B_{2}
правильные. Точки C_{1}
и C_{2}
симметричны точке C
относительно прямых A_{2}B_{2}
и A_{1}B_{1}
соответственно. Докажите, что треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
подобны.
Решение. Из условия следует, что B_{2}C_{1}=B_{2}C=B_{2}B_{1}
, т. е. B_{2}
— центр описанной окружности треугольника B_{1}CC_{1}
, поэтому
\angle C_{1}B_{1}C=\frac{1}{2}\angle C_{1}B_{2}C=\angle A_{2}B_{2}C
(это равенство означает, что каждый из углов C_{1}B_{1}C
и A_{2}B_{2}C
равен половине дуги C_{1}C
, не содержащей точки B_{1}
, причём это равенство справедливо, даже если эта дуга больше полуокружности), а
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle A_{1}B_{1}C+\angle A_{2}B_{2}C.
Точка B_{1}
— центр описанной окружности треугольника B_{2}CC_{2}
, поэтому
\angle C_{2}B_{2}C=\frac{1}{2}\angle C_{2}B_{1}C=\angle A_{1}B_{1}C,
а
\angle A_{2}B_{2}C_{2}=\angle A_{1}B_{1}C+\angle A_{2}B_{2}C.
Значит,
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle A_{2}B_{2}C_{2}.
Точно так же доказывается равенство других углов треугольников B_{1}A_{1}C_{1}
и B_{2}A_{2}C_{2}
.