6962. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что вписанная окружность треугольника проходит через центр описанной.
Ответ. 45^{\circ}
или \arctg\sqrt{5+4\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей радиусов r
и R
равнобедренного треугольника с основанием AB
, M
— середина AB
, K
— точка касания вписанной окружности с боковой стороной AC
.
Предположим что точка O
совпадает с M
. Тогда треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, так как центр его описанной окружности — середина стороны AB
. Тогда MC=MA=R
, \angle CAB=\angle CAM=45^{\circ}
.
Пусть теперь точка O
лежит между I
и C
. Тогда
OA=OC=R,~OM=2R,~IC=IO+OC=r+R,~
CK=\sqrt{IC^{2}-IK^{2}}=\sqrt{(r+R)^{2}-r^{2}}=\sqrt{R^{2}+2rR},
AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{R^{2}-4r^{2}}.
Из подобия прямоугольных треугольников CKI
и CMA
получаем, что \frac{IK}{CK}=\frac{AM}{CM}
, или
\frac{r}{\sqrt{R^{2}+2rR}}=\frac{\sqrt{R^{2}-4r^{2}}}{R+2r}.
Обозначим \frac{r}{R}=t
и разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на R
. Тогда
\frac{t}{\sqrt{1+2t}}=\frac{\sqrt{1-4t^{2}}}{1+2t},~t=\frac{\sqrt{1-4t^{2}}}{\sqrt{1+2t}}=\sqrt{1-2t},~
t^{2}=1-2t,~t^{2}+2t-1=0,
откуда t=\sqrt{2}-1
. Значит,
\tg\angle CAB=\tg\angle CKI=\frac{IK}{CK}=\frac{\sqrt{R^{2}+2Rr}}{r}=\frac{\sqrt{1+2t}}{t}=
=\frac{\sqrt{1+2\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{(2\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)^{2}}=\sqrt{5+4\sqrt{2}}.
Следовательно, \tg\angle CAB=\arctg\sqrt{5+4\sqrt{2}}
.