6968. Точки M
и N
— середины соответственно гипотенузы AB
и катета BC
прямоугольного треугольника ABC
. Биссектриса угла BAC
пересекает катет BC
и прямую MN
в точках K
и L
соответственно.
а) Докажите, что треугольники AML
и BLC
подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если \cos\angle BAC=\frac{7}{25}
.
Ответ. \frac{25}{36}
.
Решение. а) Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, прямые ML
и AC
параллельны. Значит,
\angle ALM=\angle LAC=\angle LAM,
поэтому LM=AM=BM=CM
, т. е. точки A
, B
, C
и L
лежат на окружности с центром M
. Тогда
\angle LBC=\angle LAC=\angle LAB=\angle LCB.
Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle LAB=\frac{\alpha}{2}
, а так как \cos\alpha=\frac{7}{25}
, то
\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25}.
Точка L
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ALB=90^{\circ}
. Коэффициент подобия треугольников BLC
и AML
равен
k=\frac{AM}{LB}=\frac{AB}{2BL}=\frac{1}{2\sin\angle LAB}=\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.
Следовательно, отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е.
k^{2}=\frac{1}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{4\cdot\frac{9}{25}}=\frac{25}{36}.
.