6976. Окружность касается сторон AB
и BC
треугольника ABC
в точках D
и E
соответственно и пересекает сторону AC
в точках F
и G
(точка F
лежит между точками A
и G
). Найдите радиус этой окружности, если известно, что AF=5
, GC=2
, AD:DB=2:1
и BE=EC
.
Ответ. \sqrt{6}
.
Решение. Обозначим BD=x
, FG=t
, \angle ABC=\beta
. Тогда
AD=2x,~AE=AD=2x,~CE=BE=BD=x,~BC=2x,~AB=3x.
По теореме о касательной и секущей AD^{2}=AF\cdot AG
и CE^{2}=CG\cdot CF
, или 4x^{2}=5(5+t)
и x^{2}=2(2+t)
. Отсюда находим, что t=3
и x=\sqrt{10}
. Тогда
AB=3x=3\sqrt{10},~BC=2x=2\sqrt{10},~AC=5+3+2=10.
По теореме косинусов
\cos\beta=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{90+40-100}{2\cdot3\sqrt{10}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{1}{4}.
Значит,
\sin\beta=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4},~\tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{15}}.
Пусть O
— центр окружности, r
— её радиус. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого этого, поэтому BO
— биссектриса угла ABC
. Значит,
r=OD=BD\tg\frac{\beta}{2}=x\tg\frac{\beta}{2}=\sqrt{10}\cdot\frac{3}{\sqrt{15}}=\sqrt{6}.