6981. Пусть OP
— диаметр окружности \Omega
, \omega
— окружность с центром в точке P
и радиусом меньше, чем у \Omega
. Окружности \Omega
и \omega
пересекаются в точках C
и D
. Хорда OB
окружности \Omega
пересекает вторую окружность в точке A
. Найдите AB
, если BD\cdot BC=5
.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. Пусть прямая OP
вторично пересекает окружность \omega
в точке N
. Точка B
лежит на окружности с диаметром OP
, значит, \angle OBP=90^{\circ}
. Прямая PB
содержит диаметр окружности \omega
, перпендикулярный хорде AN
, поэтому B
— середина AN
.
При симметрии относительно прямой OP
обе окружности переходят сами в себя (см. задачу 1677), поэтому точки C
и D
симметричны относительно этой прямой. Тогда дуга OC
окружности \Omega
, не содержащая точки D
, симметрична дуге OD
этой окружности, не содержащей точки C
. Значит, вписанные углы OBC
и OBD
, опирающиеся на эти дуги, равны.
Пусть прямая BD
вторично пересекает окружность \omega
в точке K
. Тогда
\angle NBK=\angle OBD=\angle OBC=\angle ABC.
Кроме того, прямая PK
— серединный перпендикуляр к хорде AN
, поэтому, треугольники ABC
и NBK
симметричны относительно прямой PB
. Значит, эти треугольники равны. Треугольник DBA
подобен треугольнику NBK
по двум углам (\angle ADB=\angle ANK
), следовательно, треугольник DBA
подобен треугольнику ABC
. Тогда \frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}
, откуда AB^{2}=BD\cdot BC=5
. Следовательно, AB=\sqrt{5}
.