6986. Из всех прямоугольных треугольников с данной высотой, опущенной на гипотенузу, найдите треугольник наименьшей площади.
Ответ. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть CH=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу AB=c
, CM
— медиана треугольника. Тогда
CM\geqslant CH=h,~c=AB=2CM\geqslant2h,~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CH\cdot AB\geqslant\frac{1}{2}h\cdot2h=h^{2},
причём равенство достигается в случае, когда высота CH
является медианой, т. е. когда треугольник равнобедренный.