6990. В данный треугольник впишите параллелограмм наибольшей площади с данным острым углом так, чтобы две вершины параллелограмма лежали на стороне треугольника, а две другие — на двух других сторонах.
Решение. Пусть B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, а точки E
и F
, лежащие на стороне BC
, — вершины параллелограмма B_{1}C_{1}FE
с данным острым углом. Докажем, что этот параллелограмм имеет наибольшую площадь среди всех параллелограммов PMNQ
, вершины P
и M
которых лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, вершины N
и Q
— на стороне BC
, а острый угол MPQ
равен заданному.
Предположим, что точка P
лежит на отрезке AB_{1}
. Тогда MP=\frac{a}{2}-x
(где a=BC
и x\gt0
), а высота параллелограмма PMNQ
, опущенная на сторону NQ
, равна \frac{h}{2}+y
(где h
— высота треугольника ABC
), опущенная на сторону BC
, и y\gt0
. Из подобия треугольников APM
и AB_{1}C_{1}
получаем, что
\frac{MP}{B_{1}C_{1}}=\frac{h-\left(\frac{h}{2}-y\right)}{\frac{h}{2}}=\frac{\frac{h}{2}-y}{\frac{h}{2}},~\mbox{или}~\frac{\frac{a}{2}-x}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{h}{2}-y}{\frac{h}{2}},
откуда
\frac{a}{2}-x=\frac{a}{h}\left(\frac{h}{2}-y\right).
Значит,
S_{PMNQ}=\left(\frac{a}{2}-x\right)\left(\frac{h}{2}+y\right)=\frac{a}{h}\left(\frac{h}{2}-y\right)\left(\frac{h}{2}+y\right)=
=\frac{a}{h}\left(\frac{h^{2}}{4}-y^{2}\right)\lt\frac{a}{h}\cdot\frac{h^{2}}{4}=\frac{ah}{4}=S_{B_{1}C_{1}FE}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка P
лежит на отрезке BB_{1}
.
Источник: Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 33, с. 27