6999. На окружности, описанной вокруг треугольника ABC
, лежат точки K
, L
, M
, отличные от его вершин. При этом AK=AB
, BL=BC
, CM=CA
. Найдите углы треугольника KLM
, если углы A
и B
треугольника ABC
равны соответственно 74^{\circ}
и 38^{\circ}
.
Ответ. 110^{\circ}
, 62^{\circ}
, 8^{\circ}
.
Решение. Заметим, что точки K
, L
и M
лежат на дугах BCA
, BAC
и ABC
соответственно (см. рисунок).
Вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую он опирается, поэтому
\smile BMC=2\cdot\angle BAC=2\cdot74^{\circ},~\smile ALC=2\cdot\angle ABC=2\cdot38^{\circ}.
Тогда градусная мера дуги AB
, не содержащей точки C
, равна
\smile AB=2\cdot180^{\circ}-2\cdot74^{\circ}-2\cdot38^{\circ}=2\cdot68^{\circ}.
Из равенства хорд AB
и AK
следует, что
\smile ACK=\smile AB=2\cdot68^{\circ},
значит, градусная мера дуги CK
, не содержащей точки A
, равна
\smile CK=\smile ACK-\smile ALC=2\cdot68^{\circ}-2\cdot38^{\circ}=2\cdot30^{\circ},
а так как равны хорды MC
и AC
, то градусная мера дуги MC
, не содержащей точки A
, равна градусной мере дуги ALC
. Тогда градусная мера дуги MK
, не содержащей точки A
, равна
\smile MK=\smile MKC-\smile CK=\smile ALC-\smile CK=2\cdot38^{\circ}-2\cdot30^{\circ}=2\cdot8^{\circ}.
Следовательно, \angle MLK=8^{\circ}
.
Из равенства хорд BC
и BL
следует, что
\smile BAL=\smile BMC=2\cdot74^{\circ}.
Тогда градусная мера дуги AL
, не содержащей точки B
, равна
\smile AL=\smile BAL-\smile AB=2\cdot74^{\circ}-2\cdot68^{\circ}=2\cdot6^{\circ},
значит,
\smile LCK=\smile ACK-\smile AL=2\cdot68^{\circ}-2\cdot6^{\circ}=2\cdot62^{\circ}.
Следовательно, \angle KLM=62^{\circ}
, а
\angle LKM=180^{\circ}-62^{\circ}-8^{\circ}=110^{\circ}.