7002. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}
.
Решение. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=AC=a
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, \angle PAM=\angle PBM=\angle PCM=60^{\circ}
.
Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Из прямоугольного треугольника PAM
находим, что
PM=AM\tg\angle PAM=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=a.
Следовательно,
V_{ABCP}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}.
