7003. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.
Ответ. \arctg2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=AC=a
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, K
— середина AB
, \angle PAM=\angle PBM=\angle PCM=60^{\circ}
. Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Из прямоугольного треугольника PAM
находим, что
PM=AM\tg\angle PAM=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=a.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания ABC
. Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=\frac{a}{\frac{a}{2\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}.
