7006. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.
Ответ. 2\arctg\frac{2}{3}=\arccos\frac{5}{13}
.
Решение. Пусть PABC
— правильная треугольная пирамида с вершиной P
, F
— основание перпендикуляра, опущенного из середины L
ребра BC
прямую AP
.
Прямая AL
— ортогональная проекция наклонной AP
на плоскость основания пирамиды. По теореме о трёх перпендикулярах AP\perp BC
, поэтому прямая AP
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BFC
. Значит, прямая AP
перпендикулярна плоскости BFC
. Поэтому FL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP
и BC
. Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
FL=AL\sin\angle FAL=AL\sin\angle DAM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sin60^{\circ}=\frac{3a}{4}.
Поскольку прямая AP
перпендикулярна плоскости треугольника BFC
, угол между боковыми гранями PAB
и PAC
— это угол BFC
. Обозначим \angle BFC=\gamma
. В равнобедренном треугольнике BFC
медиана FL
является высотой и биссектрисой, поэтому в прямоугольном треугольнике BLF
угол BFL
равен \frac{\gamma}{2}
,
\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{BL}{FL}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{3a}{4}}=\frac{2}{3}.
По известной формуле тригонометрии можно найти и косинус угла между боковыми гранями данной пирамиды:
\cos\gamma=\frac{1-\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.2, с. 27