7007. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. \frac{2a}{3}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=AC=a
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, \angle PAM=\angle PBM=\angle PCM=60^{\circ}
. Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Из прямоугольного треугольника PAM
находим, что
AP=\frac{AM}{\cos60^{\circ}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC
, он лежит на прямой PM
. Рассмотрим сечение пирамиды ABCP
плоскостью, проходящей через точки A
, P
и середину L
ребра BC
. Получим треугольник APL
, вершины A
и P
которого расположены на окружности с центром, лежащим на высоте PM
, причём радиус R
этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCP
, и AM=2ML
.
Продолжим AL
до пересечения с окружностью в точке N
. Поскольку \angle PAQ=60^{\circ}
и PN=AP
, треугольник APQ
— равносторонний, поэтому
R=AP\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2a}{3}.
Второй способ. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=AC=a
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, \angle PAM=\angle PBM=\angle PCM=60^{\circ}
. Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
PM=AM\tg\angle PAM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=a.
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC
, он лежит на прямой PM
.
Продолжим высоту PM
пирамиды до пересечения с описанной сферой в точке Q
. Рассмотрим сечение пирамиды ABCP
плоскостью, проходящей через точки A
, P
и Q
. Поскольку PQ
— диаметр окружности, радиус которой равен искомому радиусу R
сферы, треугольник APQ
— прямоугольный. Отрезок AM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит, AM^{2}=PM\cdot MQ=PM(PQ-PM)
, или
\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=a(2R-a).
Из этого уравнения находим, что R=\frac{2a}{3}
.