7017. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
. Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. \frac{3a}{4}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCDP
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=CD=AD=a
, M
— центр квадрата ABCD
, K
— середина отрезка AB
.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания пирамиды. По условию \angle PKM=45^{\circ}
.
Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM
— высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM
находим, что PM=MK=\frac{a}{2}
.
Пусть \alpha
— угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle MAP=\frac{PM}{AM}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\sqrt{\frac{2}{3}},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABCD
, он лежит на прямой PM
. Рассмотрим сечение пирамиды ABCDP
плоскостью, проходящей через точки A
, P
и C
. Получим треугольник APC
, около которого описана окружность с центром, лежащим на высоте PM
, причём радиус R
этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCDP
, а так как PC=PA=\frac{AM}{\cos\alpha}
, то
R=\frac{PC}{2\sin\angle PAC}=\frac{\frac{AM}{\cos\alpha}}{2\sin\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{3a}{4}.
Второй способ. Пусть ABCDP
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, AB=BC=CD=AD=a
, M
— центр квадрата ABCD
, K
— середина отрезка AB
.
Поскольку PK\perp AB
и MK\perp AB
, угол PKM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP
и плоскостью основания пирамиды. По условию \angle PKM=45^{\circ}
.
Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM
— высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM
находим, что PM=MK=\frac{a}{2}
.
Пусть прямая PM
вторично пересекает описанную сферу в точке Q
. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A
, P
и Q
. Получим окружность радиуса R
(радиус сферы), с центром на отрезке PQ
. Поскольку PQ
— диаметр окружности, треугольник APQ
— прямоугольный, а AM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
AM^{2}=PM\cdot MQ=PM(2R-PM),
или
\frac{a^{2}}{2}=\frac{a}{2}\cdot\left(2R-\frac{a}{2}\right),
откуда находим, что R=\frac{3a}{4}
.