7023. Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны a
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{7}}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCDEFP
— данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
, M
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, K
— середина AB
, S
— площадь боковой поверхности пирамиды. Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
.
Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Кроме того, PK\perp AB
. Значит, PK
— высота равнобедренного треугольника ABP
, а так как MK
— высота равностороннего треугольника ABM
со стороной a
, то MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
PK=\sqrt{PM^{2}+MK^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.
Все 6 боковых граней правильной пирамиды ABCDEFP
— равные равнобедренные треугольники, поэтому
S=6S_{\triangle ABP}=6\cdot\frac{1}{2}AB\cdot PK=3a\cdot\frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{3a^{2}\sqrt{7}}{2}.
Второй способ. Пусть ABCDEFP
— данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
, M
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, K
— середина AB
, S
— площадь боковой поверхности пирамиды. Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
.
Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Кроме того, PK\perp AB
и MK\perp AB
. Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол PKM
, а так как MK
— высота равностороннего треугольника ABM
со стороной a
, то MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
\tg\beta=\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Тогда
\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды ABCDEFP
на плоскость основания есть правильный шестиугольник ABCDEF
. Следовательно,
S=\frac{S_{ABCDEF}}{\cos\beta}=\frac{\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}=\frac{3a^{2}\sqrt{7}}{2}.