7026. Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны a
. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ. \frac{a(\sqrt{21}-3)}{4}
.
Решение. Пусть ABCDEFP
— данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
; AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
; M
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, K
— середина AB
, L
— середина DE
.
Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Кроме того, PK\perp AB
и MK\perp AB
. Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол PKM
, а так как MK
— высота равностороннего треугольника ABM
со стороной a
, то MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
\tg\beta=\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Центр O
сферы, вписанной в правильную пирамиду ABCDEFP
лежит на её высоте PM
, а так как эта сфера вписана в двугранный угол между плоскостями граней ABP
и ABCDEF
, то точка O
лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью PKL
. Получим треугольник PKM
и вписанную в него окружность, касающуюся стороны KL
в точке M
. Радиус r
этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду, центр O
лежит на высоте PM
, а \angle OKM=\frac{\beta}{2}
. Из прямоугольного треугольника OMK
находим, что
r=OM=KM\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\frac{\beta}{2}.
Поскольку \tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}
, имеем уравнение
\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}},
из которого находим, что
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}=\frac{a(\sqrt{21}-3)}{4}.