7045. Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
, M
— центр грани ABC
, L
— середина BC
. Поскольку DL\perp BC
и LM\perp BC
, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями ABC
и DBC
— это угол DLM
. Обозначим его \beta
. Так как DM
— высота тетраэдра, то треугольник DLM
— прямоугольный. В нём известно, что DL=\frac{a\sqrt{3}}{2}
, LM=\frac{a\sqrt{3}}{6}
. Следовательно,
\cos\beta=\cos\angle DLM=\frac{LM}{DL}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.