7046. Найдите расстояние между противоположными рёбрами правильного тетраэдра с ребром a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть L
и F
— середины противоположных рёбер соответственно BC
и AD
данного тетраэдра ABCD
(рис. 1). Тогда LF
— медиана равнобедренного треугольника ALD
, поэтому LF\perp AD
; FL
— медиана равнобедренного треугольника BFC
, поэтому FL\perp BC
. Следовательно, FL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC
и AD
.
Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
FL=\sqrt{AL^{2}-AF^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Второй способ. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
, M
— центр грани ABC
(рис. 1). Поскольку DM
— высота тетраэдра, угол между ребром AD
и плоскостью грани ABC
— это угол DAM
. Обозначим его \alpha
. В прямоугольном треугольнике DAM
известно, что AD=a
, AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Следовательно,
\cos\alpha=\cos\angle DAM=\frac{AM}{AD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD
и середину L
противоположного ему ребра BC
. Поскольку AL\perp BC
и DL\perp BC
, ребро BC
перпендикулярно секущей плоскости. Поэтому высота LF
треугольника ADL
есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AD
и BC
. Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
FL=AL\sin\angle FAL=AL\sin\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Третий способ. Достроим правильный тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей (рис. 2). Поскольку противоположные рёбра правильного тетраэдра попарно равны и перпендикулярны, построенный параллелепипед — куб, диагональ грани которого равна a
. Расстояние между противоположными рёбрами тетраэдра равно ребру этого куба, т. е. \frac{a\sqrt{2}}{2}
.