7047. Найдите радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
(рис. 1), M
— центр грани ABC
, R
— искомый радиус описанной сферы. Поскольку DM
— высота тетраэдра, угол между ребром AD
и плоскостью грани ABC
— это угол DAM
. Обозначим его \alpha
. В прямоугольном треугольнике DAM
известно, что AD=a
, AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Следовательно,
\cos\alpha=\cos\angle DAM=\frac{AM}{AD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD
и середину L
противоположного ему ребра BC
(рис. 2). Получим треугольник ALD
, вершины A
и D
которого лежат на окружности радиуса R
с центром на высоте DM
. Продолжим AL
до пересечения с окружностью в точке E
. Равнобедренный треугольник ADE
вписан в окружность радиуса R
, поэтому
R=\frac{DE}{2\sin\angle DAE}=\frac{AD}{2\sin\alpha}=\frac{a}{2\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.
Второй способ. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
, R
— искомый радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины. Значит, центр описанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен \frac{3}{4}
высоты тетраэдра. Следовательно,
R=\frac{3}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.