7052. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми гранями.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}=2\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}=\arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Пусть все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны a
.
Плоскости ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
соответственно, значит, прямая l
их пересечения параллельна AD
и CD
. Пусть M
и N
— середины рёбер AD
и BC
соответственно. Тогда SM\perp AD
и SN\perp BC
, поэтому SM\perp l
и SN\perp l
. Следовательно, MSN
— линейный угол двугранного угла между гранями ASD
и BSC
. Обозначим его через \alpha
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\cos\angle MSN=\frac{SM^{2}+SN^{2}-MN^{2}}{2SM\cdot SM}=\frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{1}{3}
.