7069. Боковые грани правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}
.
Указание. Обозначьте через a
сторону основания данной пирамиды и выразите через a
боковое ребро и его проекцию на плоскость основания.
Решение. Пусть a
— сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— центр равностороннего треугольника ABC
, \alpha
— искомый угол (\angle DAM=\alpha
). По условию задачи
\angle ADB=\angle BDC=\angle ADC=90^{\circ}.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADB
находим, что
AD=AB\cos45^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
В прямоугольном треугольнике DAM
известны катет AM=\frac{a}{\sqrt{3}}
и гипотенуза AD=\frac{a}{\sqrt{2}}
. Следовательно,
\cos\alpha=\cos\angle DAM=\frac{AM}{AD}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{a}{\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.